23 millió jegyű a legnagyobb ismert prímszám

Az effajta vadászat elsőre öncélú kedvtelésnek tűnhet, de nem az.

A GIMPS, ahogy neve is utal rá, nem is akármilyen prímszámot, hanem a még ritkább, úgynevezett Mersenne-prímet keresi. E szám a XVI–XVII. század fordulóján élő francia matematikus szerzetesről, Marin Mersenne-ről kapta a nevét, aki pályafutása során sokat foglalkozott a prímszámokkal, és nagyban hozzájárult a számelmélet fejlődéséhez. Sok korai matematikus úgy sejtette – magyarázza a Tennessee-i Egyetem honlapja –, hogy 2^n–1 kifejezéssel felírható számok minden prím n-re prímszámokat eredményeznek. Például 2^2–1=3, 2^3–1=7 és így tovább. Aztán kiderült, hogy nem, mivel a XVI. században Hudalricus Regius kimutatta, hogy a 2^11–1, amely 2047-tel egyenlő, nem prímszám, hanem a 23 és a 89 szorzata.

A következő években több hasonló képlettel felírható számról kiderült, hogy összetett, mígnem Marin Mersenne barát 1644-es Cogitata Physica-Mathematica könyvében kijelentette, hogy a 2^n–1 akkor ad prím számot, ha n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 vagy 257. Végül csak 1947-re – Mersenne munkája után 303 évvel – sikerült megvizsgálni az összes 258-nál kisebb számot, így a helyes lista szerint a 2^n–1 akkor prím, ha n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 vagy 127. Mersenne-nek tehát nem volt tökéletesen igaza, neve mégis rajtaragadt a 2^n–1 alakú prímszámokon.

Eddig mindössze ötven Mersenne-prímet találtak, az utolsó 16-ot a GIMPS önkéntesei. A mostani legnagyobbat bárki kiszámolhatja akár fejben is, mindössze 77 232 917-szer kell összeszorozni a kettőt önmagával, majd kivonni az eredményből 1-et (2^77 232 917–1). A szám a maga 23 249 425 számjegyével majdnem egymillió számjeggyel hosszabb, mint az előző rekorder.

A szám prím mivoltának bizonyítása hatnapnyi megállás nélküli kalkulációt igényelt Pace számítógépétől. Ezután négy önkéntes négyféle számítógépes programmal négy különféle komputeren ellenőrizte, hogy tényleg prímről van-e szó. Amikor megbizonyosodtak róla, a GIMPS kifizette az 51 éves Pace-nek a sikeres prímvadászoknak felajánlott, 3000 dolláros pénzjutalmat. Nem biztos, hogy a vagyonnak azért nem nevezhető díj fedezte a 14 évi villanyszámlát és a számítógépek amortizációjának költségét.

De persze az önkéntesek nem is a pénzért csinálják (bár az első 100 millió számjegy hosszúságú prímért már 150 ezer dollár lenne a jutalom), sokkal inkább a dicsőségért. Sőt Pace úgy érzi, hogy ezzel a hobbival a közjót is szolgálják, az amerikai közszolgálati National Public Radiónak adott indoklásában pedig felvillantja a nagy prímszámok felfedezésének tényleges hasznát is: „Ha majd egyszer tényleg kifejlesztik a kvantumszámítógépeket, az összes jelenlegi titkosítást milliszekundumok alatt fogják feltörni. Így szükség lesz a hihetetlenül nagy prímszámokra, és én ezt a prímszámot hagyhatom magam után örökül.”

Tehát a prímszámok a számítógépes titkosításban játsszák a legfontosabb szerepet. Sok kódoló algoritmus akkor engedi „feltörni” a titkosított adatokat, ha az illető megadja egy eszméletlenül nagy szám prímtényezőit. Ezek megtalálása elméletben nem bonyolult feladat (hiszen csak rengeteg, nála kisebb számmal kell elosztani, hogy az eredmény egész számot ad-e), de a mai komputerekkel sokszor millió évekre van hozzá szükség. Így az ezeken alapuló titkosítások ma még gyakorlatilag feltörhetetlenek. De ahogy fejlődik a számítástechnika, és gyorsulnak a számítógépek, előbb-utóbb minden titkosítás elavul. A nagy prímszámok ezt a folyamatot lassíthatják némileg.