Bármilyen meglepő, Bodrogi Gyula néptáncosként kezdte a pályáját, 1951-től három évig a SZOT együttesének szólótáncosa volt. Amúgy Budapesten született 1934-ben.1954-ben vették fel a Színház- és Filmművészeti Főiskolára, diplomáját 1958-ban kapta meg.
Első szerződése a József Attila Színházhoz kötötte, az angyalföldi társulathoz több mint húsz évig hű maradt. 1982-ben a Vidám Színpadhoz került, ahol volt színész, művészeti igazgató, igazgató-rendező, 1996 és 2002 között pedig a Vidám Színpad Kht. ügyvezető igazgatója, 2002-ben a Vidám Színpad örökös tagjává választották.
2003-ban Jordán Tamás igazgató meghívására a Nemzeti Színházhoz szerződött, amelynek azóta is tagja. 1975 óta tanít a Színház- és Filmművészeti Főiskolán (2000 óta Egyetemen).
A pályakezdő Bodrogi Gyula elsősorban kortárs és klasszikus darabok karakterszerepeit játszotta, de hamarosan felfedezték komikusi tehetségét is, ettől kezdve ő lett az úgynevezett könnyű műfaj egyik legjellegzetesebb képviselője. Muzikalitását, kiváló tánctudását zenés-táncos darabokban kamatoztathatta. Emlékezetes alakításai: Napóleon (Sardou A szókimondó asszonyság című darabjában), Böffen Tóbiás (Shakespeare Vízkeresztjében), a francia király (Kacsóh Pongrác János vitézében), Peacock (Brecht Koldusoperájában), Bálint (A Hubay–Vas–Ránki szerzőtrió Egy szerelem három éjszakájában), Seress Rezső (Müller Péter Szomorú vasárnapjában), Julien, a fogorvos (Barillet–Grédy A kaktusz virágában). Mint rendező is szívesebben nyúlt a habkönnyű, elsősorban zenés darabokhoz.
Könnyed természetességének és elmélyült jellemábrázolásának köszönhetően filmszínészként is hamar a közönség kedvence lett. Első filmjét, a Külvárosi legendát Máriássy Félix rendezte 1957-ben, ezután szinte évente forgatott. Emlékezetes filmje volt a Házasságból elégséges (ebben akkori felesége, Törőcsik Mari volt partnere), a Hattyúdal, a Húsz óra, a Tanulmány a nőkről, a Fuss, hogy utolérjenek, a Szépek és bolondok, a Hogyan felejtsük el életünk legnagyobb szerelmét?. A Szerencsés Dánielben megtört családapát alakított, ő volt az Idő van mogorva üdülőgondnoka, a Titánia, Titánia, avagy a dublőrök éjszakájában négyes főszerepben brillírozott, elnyerve a legjobb férfialakítás díját a svájci Vevey-ben 1989-ben, majd 1991-ben a bulgáriai Gabrovóban.