A Budapesten 1924-ben született Bródy Verát szülei hegedűművésznek szánták, de őt a zeneórák helyett a színpad világa vonzotta, színész szeretett volna lenni. 1947–48-ban a Művész Színházban dolgozott, majd három évig Győrött játszott.
A bábművészethez a véletlen vezette: 1951-ben látta a világhírű szovjet bábművész, Szergej Obrazcov színházának előadását, s nem sokkal később három, maga készítette bábuval bekopogtatott a bábszínházhoz. A bábműhelybe került, ahol megtanulta a bábkészítést, s az Állami Bábszínház báb- és díszlettervezője lett. Első önálló tervezése egy francia népi bábjáték, a Szomszédasszonyok volt, ezt követte 1952-ben Misi mókus figurája, amely azóta is a gyermekek kedvence.
1958-ban Szilágyi Dezső lett a bábszínház igazgatója, irányítása alatt egy teljesen új műfaj alakult ki: klasszikus komolyzenei műveket – Bartók, Britten, Sztravinszkij, Ligeti műveit – bábokkal, tárgyakkal keltették életre a színpadon. A színház ezekkel az előadásokkal szerte a világon nagy sikert aratott, számos mű bábjait és díszleteit Bródy tervezte.
Bródy jellegzetes, szeretetre méltó bábjai a gyerekek barátai lettek, nemzedékek nőttek fel figuráin, darabjain. Kezei közül olyan ismert bábfigurák kerültek ki, mint Mazsola, a Futrinka utca egyes lakói, a Diótörő bábjai, A dzsungel könyve vagy A kacsalaki rejtély kedves szereplői.
Bálint Ágnes, a Mazsola-történetek szerzője mesélte, hogy amikor meglátta a sarokban porosodó kis pufók zöld posztómalacot, azonnal tudta, hogy igen, ő lesz Mazsola. Mazsola 1963-ban mutatkozott be a televízióban, majd 135 héten át uralta azt. Bródy Vera több sorozat készítésében vett részt, így a Játsszunk bábszínházat címűben, ahol különböző anyagokból a gyerekekkel együtt készítették a bábokat és hoztak létre előadást.
1968 óta francia férjével Párizsban él, grafikákat, bábokat, könyvillusztrációkat készít és bábiskolában tanít. Öt évig Bretagne-ban, egy kastély kertjében vezetett bábiskolát. Sztravinszkij Tűzmadár című művét Párizsban adaptálta bábra, ezt Magyarországon egy Sztravinszkij-est egyik darabjaként mutatták be. Kapcsolata nem szakadt meg a Budapesti Bábszínházzal. Rendezőként is nagy sikerrel újította fel 2001-ben a Háry Jánost, amely annak idején az avignoni színházi fesztivál közönségét is elbűvölte.
Munkásságát, művészetét 1959-ben Munkácsy Mihály-díjjal, 1967-ben Jászai Mari-díjjal ismerték el. 2010-ben a Magyar Köztársasági Érdemrend lovagkeresztjével tüntették ki.
