Környezetünkben minden élőlény és tárgy nagyszámú és sokféle, egymással kölcsönható alkotóelemből épül fel. A statisztikus fizika egyik központi kérdése az, hogy ha egymással kölcsönható elemekből létrejön egy nagyobb egység, akkor annak viselkedése leírható-e anélkül, hogy az egyes alkotóelemek viselkedését külön-külön leírnánk. Vajon az átalakulás során történteket meg lehet-e magyarázni, meg lehet-e érteni?
Persze az, hogy mit nevezünk megértésnek, nagyon nehezen körülírható fogalom. Teljesen gyakorlatias meghatározás szerint egy jelenséget megértettünk, ha az arra felállított matematikai modell alapján a kísérleti eredmények értelmezhetők, és a kísérletek kimenetelét meg tudjuk jósolni. A modell lényegében a természeti jelenségekről alkotott szabálygyűjtemény, amely a természet egyes elemei közötti kapcsolatokat ír le. A számítógépes szimuláció ezeknek a szabályoknak az alkalmazása a számítógépben. A statisztikus fizika matematikai eszközei és a számítógépek fejlődése nyomán napjainkra már a bonyolultabb, élő alkotóelemekből álló rendszerek – baktériumtelepek, madárrajok vagy akár embercsoportok – vizsgálata is lehetővé vált.
A rend és a rendezetlenség megnyilvánulhat térben vagy időben, illetve térben és időben. Kezdetnek vizsgáljuk meg e fogalmakat egy térbeli példán! Egy területen elhelyezhetünk kis négyzeteket kristályos rendben, egyetlen nagyon egyszerű szabály segítségével: egy szabályos rács csúcsaiba kell helyeznünk őket. Ugyanezen a területen ugyanezeket a négyzeteket véletlenszerűen is szétszórhatjuk: ennek az elrendezésnek a szabálya szintén egyszerű, hiszen minden pontot véletlenszerűen raktunk le. Tehát a teljesen rendezett és a teljesen rendezetlen elrendezés is megadható egy-egy egyszerű szabállyal. A rend és a rendezetlenség között félúton lévő elrendezés – az átmenet – viszont többnyire olyan bonyolult minta, amelyet egyszerű szabállyal nem lehet megadni. Az igazán érdekes dolgok az átmenetnél történnek.
Az átmenetek legtöbbször fázisátalakulással járnak: például fagyás során a folyékony halmazállapotú víz kristályos jéggé alakul. A rácsszerű rendezettség és a rendezetlen szerkezet közötti átmenetre jó példát adnak az olyan, növekedéssel kialakuló ágas-bogas szerkezetek is, mint a hópehely, de hasonló átalakulási jelenségek figyelhetők meg élő rendszerekben is, amelyeknek fontos tulajdonsága az önszerveződés: e rendszerek saját maguk, külső beavatkozás nélkül alakítják ki összetett szerkezetüket.
A térbeli rendezettség és rendezetlenség közti átmenetek többnyire geometriailag is igen érdekes alakzatokat hoznak létre: a kialakuló szerkezetek gyakran ágas-bogas fraktálok. Ezek szerkezete lényegileg különbözik egy szokásos alakzatétól, például egy egyenes rúdtól, egy körlaptól vagy egy gömbtől. Ha egy rúd hosszát, R-et növelem, akkor a tömege R-rel arányosan nő. Ha egy körlap sugara R, akkor a területe R négyzet szorozva pi-vel, tehát a körlap tömege R négyzetével arányos. Hasonlóképpen: az R sugarú gömb tömege R harmadik hatványával arányos. Általánosabban: a hétköznapi testek esetében a test méretének (R-nek) növelésével a test tömege R első, második vagy harmadik hatványa szerint nő, tehát az arányosságot egy pozitív egész szám (1, 2 vagy 3) írja le. Ezt a tárgy dimenziójának hívják: a rúd egy-, a körlap két-, a gömb pedig háromdimenziós. A fraktálok esetében ez a hatvány egy törtszám.
Fraktált magunk is szerkeszthetünk. Rajzoljunk egy négyzetet, majd a négy sarkához illesszünk négy ugyanolyan négyzetet. Az így kapott öt négyzet a sarkainál érintkezik egymással. Ezzel az öt négyzetből álló egységgel ismételjük meg a korábbi másolást: az ábra négy sarkához másoljuk be a teljes ábrát. Ismételjük meg ezt a két lépést sokszor: 1. fogjuk meg a teljes ábrát, 2. másoljuk le a megfogott ábrát a meglévő ábra négy sarkához. Rajzolás közben természetesen folyamatosan kicsinyítenünk is kell az ábrát, hogy ráférjen a papírra. Az így kapott alakzat egy idő után hópehelyszerűnek tűnik, és bármelyik apró részlete nagyon hasonlít a teljes ábrához. Ez az úgynevezett önhasonlóság a fraktálok másik lényegi tulajdonsága.
A fraktálnövekedés egyik legfontosabb matematikai modellje a következő: helyezzünk el egy kör középpontjában egy darab részecskét, majd indítsunk el egy véletlenszerűen bolyongó részecskét a kör kerületéről. Ha a bolyongó részecske mozgása során hozzáér a középen lévő részecskéhez (illetve az ott korábban lerakódott részecskékhez), odatapad, többé nem mozdul, és újabb bolyongó részecskét indítunk a kör kerületéről. Egy részecske véletlenszerű bolyongása szorosan kapcsolódik a diffúzió nevű jelenséghez, és a megtapadást idegen szóval aggregációnak is nevezik. Ezért e modell neve diffúziólimitált aggregáció. A modell egyik fontos tulajdonsága az önszerveződés: a kialakuló alakzatok külső beavatkozás nélkül jönnek létre.
A természetben nemcsak a tér-, hanem az időbeli rendeződés (szinkronizáció) is gyakori jelenség. Mindannyian jól ismerjük az egymással szinkronban ciripelő tücskök hangját, közismert az is, hogy a szív sejtjei egymással összehangolva húzódnak össze, és egy-egy jó előadás után már sokan vettünk részt ütemes tapsolásban. Ilyenkor az emberek először rendezetlenül tapsolnak, majd hirtelen, szinte varázsütésre kialakul a vastaps, amely egy kis idő múlva ismét rendezetlen tapsolásba torkollik, majd újból felhangzik.
Ha egy nagy madárcsapatot megijesztünk egy durranással, a madarak először felrebbennek, s mindenik repül, amerre lát. Ám legtöbbször néhány másodpercen belül rendeződik a mozgásuk, és az egész raj azonos irányba kezd repülni. Ez esetben a rendeződés oka a mozgás. Megfigyelhetjük például, hogy ha sok galamb vagy sok kiskacsa álldogál egy nagy területen, mindegyik megpróbál azonos irányba fordulni a hozzá közel lévőkkel. De ha két madár egymástól távol áll, akkor már nem érzik elég erősen egymás hatását: egymástól eltérő irányokba fordulnak, és a teljes madárcsapat rendezetlen marad. Ha viszont minden madár mozogni – például repülni – kezd abba az irányba, amerre éppen áll, akkor a mozgó egyedek távolabbi szomszédaikkal is találkoznak, és velük is egyeztetni tudják mozgási irányukat. Végül pedig a mozgás során a teljes madárraj rendeződik, vagy néhány nagyobb csoportra szakad.
Jól tudjuk, hogy minden ember igen bonyolult egység a fizika, a kémia, a biológia, a pszichológia és más tudományágak szempontjából is. Ezért igencsak meglepő, hogy az emberek csoportos viselkedése leírható olyan egyszerű modellekkel, amelyek kémiai reakciók vagy idegsejtek leírására is használatosak. Mégis megérthetjük e furcsa ellentmondást egy másik példa alapján. Mindannyian tudjuk, és naponta tapasztaljuk, hogy ma már a legegyszerűbb autók is nagyon bonyolult szerkezetek. Mégis a legtöbb helyzetben az autóvezetéshez elég néhány egyszerű szabályt ismerni.
Ha sok ember (például gyalogos) együttes mozgását vizsgáljuk, sokszor régi ismerősként köszönnek vissza a baktériumoknál és a madaraknál vagy akár az élettelen kristályoknál látott rendeződési jelenségek. A gyalogosok mozgásuk során számukra kényelmes távolságot próbálnak tartani egymástól és a falaktól, oszlopoktól. Ez a törekvés matematikailag kifejezhető emberi tulajdonságok nélkül is: ha a modellben minden embert egy részecskének tekintünk, ugyanolyan taszítóerő kell hogy hasson az emberek között, mint egy kristályban két atom között. Ha két ember összeütközik, akkor rugalmas taszítóerő hat köztük, akárcsak két összenyomott gumilabda között.
A mozgás során történő rendeződésre közismert példa a Kába követ minden évben meglátogató zarándokok mozgása vagy akár az a körkörös mozgás, amely egy zsúfolt műjégpályán kialakul. Mindkét esetben a legegyszerűbb rendezett, csoportos mozgás valósul meg a zárt területen: a kör mentén történő, azonos irányú haladás. Ennek betartatására a Kába kő és egy műjégpálya esetén is külön szabályok léteznek. (A Kába követ meglátogató zarándokok számára vallási előírás, hogy hétszer megkerüljék a követ, és a zsúfolt műjégpályákon szintén van kötelező haladási irány.)
Az élettelen rendszereknél megismert kristályos szerkezet is megfigyelhető az embereknél. Például a fürdőmedencében álldogálók és beszélgetők mindenike próbál számára kényelmes távolságot tartani a szomszédaitól. Ennek eredményeképp az emberek egy háromszöges kristályrács pontjai szerint rendeződnek.
A mozgás közben történő rendeződés gyalogosoknál gyakran tapasztalható. Ha néhány ember egy sűrű, nagy tömeg egyik széléről a másikra akar átjutni, akkor az első mögé rendeződve, egymást követve törnek utat maguknak. Ugyanez a jelenség figyelhető meg folyosókon és gyalogos-átkelőhelyeken is, azzal a különbséggel, hogy ilyenkor mindenki az összesen két lehetséges haladási irány egyikét kívánja választani. A kialakuló mozgási mintázatok létrejöttéhez csupán két – matematikai egyenletekkel leírható – szabályra van szükség: minden gyalogos arra törekszik, hogy a többiektől megfelelő távolságot tartson, és hogy az elérni kívánt célja felé haladjon. Ha a gyalogossűrűség alacsony, akkor a kialakuló gyalogosfolyamok nem zavarják egymást, és a tér- és időbeli rendezettség stabil, hosszú ideig fennmarad. Ha viszont egy folyosón sok a gyalogos, akkor a kialakuló folyamok újból és újból egymásba ütköznek, és a kialakuló mozgás rendezetlen lesz.
Végül vizsgáljuk meg a csoportos emberi mozgásnak egy különleges esetét! Tűzesetek során gyakori, hogy egy szobában az ott lévő füst miatt az emberek nem látják a kijáratokat, és csak a hozzájuk közel lévők mozgása alapján tudnak tájékozódni. Minden ember követi az általa helyesnek vélt haladási irányt (a falnál megfordul), de befolyásolhatja a közelében lévők mozgási iránya is. Az általunk végzett számítógépes szimulációk szerint lényeges különbség tapasztalható a két szélsőséges és az átmeneti stratégia között. Ha minden ember csak a saját feje után szalad, akkor teljes fejetlenség alakul ki, és kevesen találják meg az ajtót. Ha mindenki szolgai módon követi a környezetében lévő többi embert, akkor egy-egy nagy csoport könnyen követ el végzetes hibát, és megragadhat valamelyik sarokban. Ha viszont a két véglet közötti stratégiát követik az emberek – tehát mindenkinek a saját haladási irányát egy kissé befolyásolja a szomszédok iránya –, akkor sokan megmenekülnek. Ilyenkor a követés elég erős ahhoz, hogy a kijáratot megtaláló kis csoportok kifelé áramlását „megérezzék” a bent lévők, de az egyéni döntések is elég erősek még ahhoz, hogy nagy csoportok ne kövessenek el végzetes hibát. Vagyis ez esetben is a két szélsőség közötti átmenetnél lévő viselkedési forma az optimális.
A rend és a rendezetlenség határán sok érdekes, bonyolult jelenség figyelhető meg, amelyek mindennapi életünkben is fontos szerepet játszanak. A bemutatott példák remélhetőleg meggyőzően bizonyítják, hogy a legújabb számítógépes szimulációkkal napjainkban felgyorsult a rend és a rendezetlenség határán bekövetkező jelenségek kutatása, illetve megértése, és a kutatások eredményeit számos területen lehet kamatoztatni.
(A fenti szöveg a december 16-án elhangzott előadás rövidített, szerkesztett változata.)
Az előadás megtekinthető december 21-én (szombaton) a Duna Televízióban 13.10 perctől, december 22-én (vasárnap) 13.5-től az MTV-n, valamint 23.10-től az M 2-n.
A Mindentudás Egyetemének következő előadása december 23-án 19.30-kor kezdődik a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem informatikai épületének B28-as előadójában (Budapest XI., Magyar tudósok körútja 2/B).
Az előadások teljes szövegét a hozzászólásokkal és a vitával együtt a www.mindentudas.hu weblapon találják meg az érdeklődők.
Kanizsa Aréna
Rabosított szervező készíti elő a Tisza Párt nagykanizsai rendezvényét
