Téma a valószínűségelmélet. Ez Werner professzor szakterülete, amely az utóbbi években egyre nagyobb figyelmet kap. A terület kutatóit különböző díjakkal is elismerték már, s így vált a matematika egyre fontosabb kutatási területévé. Először lássuk, hogy mi a véletlenszerűség, a véletlen! A minket körülvevő világ számos eleme modellezhető véletlenként. Vegyünk egy kísérletet, amelynek bizonytalan a kimenetele. Az egyik esetben az eredmény A, a másikban B – de vajon hogyan lehet meghatározni, hogy mikor melyik? A hétköznapi életből is tudunk hasonló példát hozni: egy érme feldobását, a kártyajátékokat vagy akár a tudomány területéről a genetikát. Az utóbbi esetében rendkívül összetett, mégis véletlenszerűnek tűnő a folyamat, amelynek során a szüleink génjeinek felhasználásával megszületünk.
Az első felmerülő kérdés, hogy ha nem tudjuk előre jelezni a végeredményt, akkor nem tudjuk jellemezni sem. Ez nem igaz, hiszen az eredmény disztribúcióját meg tudjuk határozni előre. Gondoljunk egyetlen egyszerű kísérletre: van egy nagy zsákunk, benne sok kis labda. Csukjuk be a szemünket, és véletlenszerűen válaszszunk ki, vegyünk ki egy labdát. Ezen az egy labdán fel van tüntetve bizonyos információ, ami a kísérlet végeredménye. Az információ lehet összetettebb is, egy teljes eljárás, akár egy teljes genetikai kód. Amikor azt mondjuk, hogy az eredmény eloszlását, disztribúcióját próbáljuk leírni, az azt jelenti, hogy a zsák tartalmát írjuk le. Nem tudjuk, hogy melyik labdát választjuk majd ki, de azt tudjuk, mennyire valószínű a disztribúciójuk alapján, hogy egy adott információt fogunk kapni. Ez az információ ugyanis a tartalma a zsák egészét képviselő tudásnak. Ez tehát a véletlen, a véletlenszerűség elképzelése. A véletlenszerű dolgok össze tudnak állni, lehetnek kombinációik, és valójában nagyon sok körülöttünk lévő rendszer modellezhető a következők szerint: lényegében sok kis véletlenszerű inputból, bemenetből állnak, amelyek lehetnek egymástól függetlenek, de kölcsönhatás is lehet közöttük. Az egész rendszer sok véletlenszerű részből áll össze.
Mi történhet, ha nagy léptékű rend áll fenn, ami annyit tesz, hogy a mikroszkopikus véletlenszerűség egy makroszkopikus, determinisztikus rendszert alkot? Magyarán: ha ugyanazt a kísérletet nagy léptékben megismételjük, azonos eredményt kapunk, még akkor is, ha kis léptékben rendezetlenséget tapasztalunk. Essék néhány szó a bolyongás modelljéről, amelyet a legjobban érmefeldobással lehet példázni. Egyetlen pénzérménk van, amelyet ismételten feldobunk többször egymás után. Ha az eredmény fej, akkor felfelé mozdulunk el, ha írás, akkor lefelé. Matematikai értelemben ezt egy véletlen funkcióként, egy véletlen függvényként is el tudjuk képzelni. Számítógép segítségével növelhetjük a lépések számát: tízezer lépés esetén egyre kevésbé tűnik görbének a görbe, kétmillió lépés fölött pedig már szinte egyenes vonalat kapunk. Matematikai értelemben ez a nagy számok törvényével írható le.
Van tehát egy óriási zsákunk, amelyből véletlenszerűen kiválasztunk egy lehetséges bolyongást, mondjuk egymillió lépéses bolyongást. Vajon összesen hány golyó van a zsákban? Kettő az egymilliomodikon a lehetséges bolyongás száma. A zsák golyóinak nagy többsége lényegében lapos görbéket fog tartalmazni. Ez egy olyan rendszer példája, amely mikroszkopikus szinten véletlenszerűséget mutat, míg makroszkopikus szinten determinisztikus eredményt kapunk. A nagy számok törvénye közvélemény-kutatásoknál alapvető. Az elképzelés lényege, hogy a véletlenség, a véletlenszerűség átlagolódik, hiszen plusz egyeket, illetve mínusz egyeket kapunk, ezekből az átlagolásokból pedig egy determinisztikus átlagszámhoz, középértékhez jutunk.
Az előadás második része arra próbál rámutatni, hogy még nagy léptékben is előfordul, hogy véletlenszerű eredményt kapunk. A legegyszerűbb példa erre újra az érmefeldobás. Tételezzük fel, hogy ugyanúgy, mint korábban, sokszor egymás után feldobjuk a pénzérménket, tegyük fel, hogy pontosan százegyszer. Vajon többször lesz fej, vagy többször lesz írás az eredmény? Mind a kettő azonos eséllyel fordulhat elő, 50 százalék esély van arra, hogy többször lesz fej, és 50 százalék esély van arra, hogy írás lesz többször. Ez igaz, attól függetlenül, hogy hányszor dobjuk fel az érmét, tehát hogy hány inputunk van.
Említést kell tenni a véletlenszerű makroszkopikus viselkedésről is, pontosabban a stabilitásról. Nem kell egymilliószor feldobni a pénzérmét, elég parancsot adni a számítógépnek, hogy tegye meg ezt, és ezután megvizsgáljuk, hogy mi az eredmény, fej volt-e többször vagy írás. Azt is el tudjuk képzelni, hogy tényleg feldobunk ennyiszer egy pénzérmét, és végül számítógéppel ellenőriztetjük az eredményt. Elképzelhető, hogy a számítógép hibázik, és egyszer írás helyett fejet rögzít vagy fordítva. Vajon ez teljesen megsemmisíti a makroszkopikus eredményre vonatkozó információkat? Vajon bízhatunk a számítógépben, hogy tényleg az igaz választ adja? Feltéve persze, hogy a számítógép szándékosan nem csal, vagyis nincs beprogramozva csalási algoritmus. Elképzelhető, hogy ő is véletlenszerűen hibázik. Ilyen esetben az általa szolgáltatott információ nagyon megbízható: ha 99 százalékban helyesen rögzítette az érmének azt az oldalát, amelyen a fej van, akkor nagyon valószínű, hogy ténylegesen a fejre érkezés volt a több. A véletlenszerű eredmény elmélete, amely szerint vagy a fej, vagy az írás 50 százalékban nyerni fog, stabil választ, helyes feltételezést jelent.
Felvethetjük azt a kérdést, hogy mikor kapunk véletlenszerű választ egy-egy rendszerben. Fontos, hogy a helyes kérdést tegyük fel. Ha például azt kérdeztük volna, hogy talán 60 százaléknál több lesz a fej, a válasz mindenképpen nemleges, hiszen tudjuk, hogy közel 50 százalékos rá az esély. Ha tehát ráközelítünk a determinisztikus viselkedésre, akkor bizony láthatunk véletlenszerűséget. Ugyanakkor gyakran nincs választásunk. Rögzített kérdésről van szó, egy-egy rendszer konkrét, determinisztikus, megfigyelhető tulajdonságát vizsgáljuk. A rendszerből adódó válasz jellemzően determinisztikus. Azonban megtörténhet, hogy van egy változtatható paraméter. Fizikai rendszerek esetén a hőmérséklet ilyen. Azt mondhatjuk, hogy ha x fok a hőmérséklet egy adott gáznemű vagy folyékony halmazállapotú anyagnál, akkor egy másik hőmérsékletnél általában gáznemű lesz. Ha a hőmérsékletet megváltoztatjuk, akkor el fogunk érni egy kritikus hőmérsékletet, amelynél már kiderül, hogy ez alatt folyékony halmazállapotú, fölötte pedig gáznemű lesz. A kritikus hőmérséklet elérésekor tehát a determinisztikus eredmény megváltozik. Ezt hívják a fizikusok fázisátmenetnek, amely a makroszkopikus fázisok, a makroszkopikus viselkedések közötti átmenetet jelenti. Amikor pontosan ennél a kritikus hőmérsékletnél vagyunk, akkor makroszkopikus léptékben kaphatunk A vagy B választ. Elképzelhető, hogy ekkor nagy léptékben véletlenszerűvé válik a rendszer. A rendszer bizonyos részein ugyanis eltérő eredmények jöhetnek ki, és íme, ismét előttünk a nagy léptékű véletlenszerű viselkedés. Ezt a fizika és a kémia is megfigyelte már: a kritikus hőmérsékletnél érdekes véletlenszerű viselkedések merülnek föl.
Vegyünk egy egyszerű kísérletet! Van egy hatszögsejtes szűrőrácsunk. Minden egyes hatszög állását úgy döntjük el, hogy feldobunk egy pénzérmét, hogy fekete vagy fehér legyen. Ez persze felvehető grafikonként is. A kis hatszögek össze vannak kötve egymással. Felmerül a kérdés, hogy vajon milyen alakzatot vehetnek föl az egyszínű fürtök, az egyszínű tömbök. A fekete-fehér szimmetriából adódóan, ugyanúgy, ahogy az érmefeldobásnál, megfigyelhető a véletlenszerű alakzatok kialakulása. Végül megint az derül ki, hogy akármilyen nagy léptékű egy alakzatunk, egy rendszerünk, mindenképpen lesznek olyan véletlenszerű tulajdonságai, amelyek kisebb léptékben merülnek fel. És ez a véletlenszerűség itt az egyszínű fürtökben képeződik le. Ami ránézésre véletlenszerű alakzatnak tűnik, vagyis a mikroszkopikus léptékű véletlenszerűség makroszkopikus léptékben alkothat egyfajta rendezettséget.
Elég nehéz bizonyítani ezt a közelmúltbeli elméletet, hogy akkor, amikor a háló mérete egészen kicsivé vagy egészen naggyá válik, vajon valóban korlátozottak-e a véletlenszerű ábrák kialakulásukban, megjelenésükben. Ragaszkodjunk ahhoz a tényhez, hogy a véletlenszerű szigetnek maga a felépítése instabil. És ez némileg ellentmond az ösztöneinknek. Képzeljük el, hogy a tévéképernyőn vagy a számítógépes megfigyelésnél tévedés történik, és a feketét fehérnek írja a gép. Nagyon instabil a véletlenszerű elemekből összeálló nagyméretű rendszer, amely egészen kis változtatás után teljesen másként viselkedik. Egy nagyon nagy rendszerben a döntő fontosságú pontok sűrűn fordulnak elő. Mindenütt előfordulnak, és ha az esetek egy százalékában hibásan rögzítjük az állapotokat, akkor teljes mértékben megváltozik a nagy léptékben mérhető végeredmény. Ez igen apró dolog, ami megint csak ellentmond a matematikai gondolkodásnak. Abból adódik, hogy a makroszkopikus törvényszerűség teljesen eltér az átlagolt törvényszerűségtől, amely az érmefeldobás eredményét is szabályozza.
A fenti szöveg az április 23-án elhangzott előadás rövidített változata. Megtekinthető május 5-én (szombaton) 13.05-kor az MTV és május 29-én (kedden) 22.30 órakor a Duna Televízió műsorán. A következő előadást május 7-én 19.30-kor a Millenáris Teátrumban (II., Budapest, Fény utca 20–22.) Rajnavölgyi Éva tartja Hogyan védenek az immunrendszer őrszemei? címmel. A részvétel ingyenes, az előadások teljes szövegét a hozzászólásokkal és a vitával együtt a www.mindentudas.hu weblapon találják meg az érdeklődők.
origo.hu
Boldogságtól ugráló tehenek – Ilyet még biztosan nem látott! – videó
