Fazekas László 1947. október 15-én született Budapesten. Az Újpesti Dózsában kezdett futballozni, a felnőttek között 1965. november 7-én, 18 évesen mutatkozott be, és első bajnokiján (a 2–2-re végződő Újpest-Dorog mérkőzésen) rögtön gólt is szerzett.
1966. november 6-án (Újpesti Dózsa-Dunaújváros 1–0) állt össze először a Fazekas, Göröcs, Bene, Dunai II, Zámbó csatársor, amely minden idők egyik legjobb magyar támadó ötösfogata volt, és csaknem fél évtizeden át (Göröcs sérüléséig) ontotta a gólokat. A hetvenes évek második felében aztán Fazekas Törőcsik Andrással és Fekete Lászlóval alkotott remek csatártriót.
Baróti Lajos vezetőedző érkezése után, 1967 tavaszától vált igazán stabil, meghatározó játékosává az Újpestnek, amelyben másfél évtizeden át, 1980. június 14-ig (MÁV Előre-Újpesti Dózsa 1–4) összesen 408 bajnoki mérkőzésen lépett pályára. Ezzel a magyar örökranglistán – Dunai III Edével holtversenyben – jelenleg a 15. helyen áll. Fazekas László összesen kilencszer nyert bajnoki címet a Dózsával, négyszer volt ezüstérmes, kétszer pedig bronzérmes – irigylésre méltó ez az éremkollekció… És még egy dicsőség: 1970-ben az MLSZ az év labdarúgójának választotta.
A gólgyártásból is kivette a részét. 29 évesen lett először gólkirály, az 1975–76-os szezonban 19 találattal volt első. Ebben az esztendőben játszotta élete meccsét, 1976. május 15-én a Népstadionban, a legendás Dózsa-Fradi 8–3-as találkozón öt gólt szerzett, a Népsporttól 10-es osztályzatot kapott! Az 1977–78-as szezonban ismét gólkirályi címet szerzett, ekkor 24 találattal végzett az élen. A ’79–80-as bajnokságban 36 találattal nemcsak magyar gólkirály, hanem európai ezüstcipős is lett. Ebben az évben egyébként valójában 37 gólig jutott, ám az 1980. május 7-én lejátszott Újpesti Dózsa-Pécsi VSK mérkőzésen a szabadrúgásból szerzett találatát a sportnapilap tudósítója Hüber Ádám öngóljának adta, mert a sorfalban álló pécsi játékoson megpattant a labda. Ezen kívül még egy gólját „vették el”, 1972 novemberében a Diósgyőrben szerzett találata Gál Béla öngóljaként szerepel a Népsport tudósításában.