1927. június 20-án született Mezőnyéken. 1945-től a Képzőművészeti Főiskolán tanult, de 1948-ban „osztályidegenként” kitették az intézményből. 1951-ben a Nemzeti Színházhoz került díszletfestőnek, ugyanekkor kapcsolódott be a rajzfilmgyártásba gyakornokként. 1954-től rajzfilmtervezőként, 1957-től rajzfilmrendezőként tevékenykedett a Pannónia Filmstúdióban.
Bár első önálló munkája, a hatvanas évek változásait megelőlegző Ne hagyd magad emberke (1959) karikatúraszerű elemeivel, filozofikus gondolataival a felnőtteknek készült, későbbi szinte egész pályafutása a gyerekeknek szólt. 1963-ban készült a Dióbél királyfi, 1970-ben a Rendhagyó történetek. Az 1967-es Variációk egy sárkányra című alkotását szintén a felnőttek élvezhették, említésre méltó a Hajrá mozdony (1972), a Három nyúl (1973) és a Visszajelzés (1977) is.
Dargay Attila rajzfilmsorozatai 1960-61-ben az Arthur, az angyallal kezdődtek, a Nepp Józseffel és Jankovics Marcellel készített számtalan Gusztáv-epizód (1965-1968) rendezőjeként a maga munkáját a főhős körül lábatlankodó valamilyen kis állattal tette felismerhetővé. Francia megrendelésre készített egy aktualizált La Fontaine meséi sorozatot, a Marci és a Vili és Bütyök után rendezte az 1978-ban indult Pom Pom meséit és az 1982-től vetített A nagy ho-ho-ho-horgászt.
Hihetetlen érzékkel talált rá a veretes irodalmi alapanyagra, melynek alapján kedves és szeretetre méltó, de kicsit kajla és vicces figurákat rajzolt. Hallatlan népszerűségét több gyermeknemzedék körében egész estés rajzfilmjeivel érte el. A Lúdas Matyinak (1976) Matyival egyenrangú, fontos főszereplője a csalafinta, gazdáját segítő liba. Még nagyobb népszerűséget hozott számára az előbb részekként készült, majd egész estés filmmé összeállított Vuk (1981).
A rajzfilm páratlan sikere a bevezető dal és az élelmes kis rókát megörökítő játékfigurák népszerűségében is megmutatkozott. További egész estés filmje volt a Szaffi (1984) és Az erdő kapitánya (1987), keze nyomát őrzik a Dörmögő Dömötör gyermekújság, illetve mesekönyvek, képregények illusztrációi is. Képregényei többségükben a Pajtás magazinban jelentek meg, legismertebb figurája Kajla kutya.
Dargay Attilát munkássága elismeréséül 1968-ban Balázs Béla-díjjal tüntették ki, 1978-ban érdemes művész, 1983-ban kiváló művész lett. Az Ifjúsági Díjat 1981-ben, a Gyermekekért Díjat 1987-ben kapta meg, 1998-ban MSZOSZ-díjjal jutalmazták. Filmjeivel számos díjat nyert a különböző fesztiválokon, az 1961-es Rövidfilmfesztiválon első díjat, 1982-ben a Játékfilmszemlén rendezői és 1986-ban a Játékfilmszemlén közönségdíjat kapott. 2006-ban a Magyar Filmszemle Életmű-díjával tüntették ki, 2007-ben Budapest díszpolgára lett. Születésének 85. évfordulóján a Magyar Posta Vuk-illusztrációival alkalmi borítékot és bélyeget bocsátott ki, a miskolci Jameson CineFest 2017-től ítéli oda a magyar animáció ifjú tehetségeinek a Dargay Attila-díjat.
A Médiatanács a magyar animáció történetének egyik legnépszerűbb alkotójára emlékezve hirdeti meg 2014 óta a Dargay Attila pályázatot gyermek, ifjúsági és családi témájú animációs filmsorozatok támogatására.
