Kökény József 1940. július 30-án született, Cegléden kezdte profi labdarúgó pályafutását. 1961. július 30-án öltötte magára először a budapesti zöld-fehérek mezét. 1961 és 1964 között 79 mérkőzésen szerepelt a Ferencvárosban. Tagja volt az 1962/63-as, és az 1964-es bajnokcsapatnak, valamint az 1965-ös VVK-győztes együttesnek is.
Lánya, Kökény Beatrix a ferencvárosi kézilabdázás egyik ikonja, a szakosztály jelenlegi vezetője – olvasható a honlapon.