Csurka László, noha Budapesten született, kisgyermekként családjával Békésre költöztek, ahol a rokonságuk is élt. Általános és középiskolai tanulmányait az alföldi városban végezte. Az idilli ifjúkor emlékeiről vallott a Színház.hu-nak 2012-ben adott interjúban, amelyben bátyjára, Csurka Istvánra emlékezett: „Kétezerben elkezdtünk intenzíven együtt dolgozni, megalakítottuk a Bocskai Színpadot. Itt Wass Albert, Reményik, Dsida csodálatos verseit mondtuk, és amikor a versekre ő rámondta az igent vagy nemet, megint csak előjöttek a békési szép napok.”
A kamasz Csurka László szavalta éveken keresztül március 15-én a Nemzeti dalt a városi ünnepségeken. Pályaválasztására nagy hatással voltak író édesapja barátai: Sinka István, Szabó Pál, Püski Sándor és Veres Péter. Felvették a Színház- és Filmművészeti Főiskolára, ám 1955-ben politikai okokból eltávolították. Így került a kaposvári Csiky Gergely Színházba segédszínésznek. Ott érte a forradalom. A vele és bátyjával történteket szintén felidézte a Színház.hu riporterének: „Aztán jött 1956. Ő Pesten volt, én Kaposváron. Ő Pesten, én Kaposváron égettem meg magamat. Ő Recskre került. Én, hála istennek, nem kerültem Recskre, de kirúgtak azonnal a színházból, és el kellett hagynom Kaposvárt. Az én bűnöm az volt, hogy már az első nap, amikor kezdődtek a megmozdulások, a Kossuth-szobor előtt a Szózatot vagy a Talpra, magyar!-t mondtam. Tordy Gézával sokszor vitatkoztunk, hogy ki melyik verset mondta. Megbetegedtem, belázasodtam. Küldöttség jött a színházból, és közölte: a színház forradalmi bizottságának elnökévé választottak. Ez került a káderlapomra.”
A Nemzeti Színháznak kétszer lehetett tagja, először 1959 és 2000 között, majd 2018-tól haláláig. A film- és televíziós szerepek is hamar megtalálták. A Pacsirtában még kölyökképű mezítlábas hordárként csattog végig Sárszegen, a Bors sorozatban már fehér tisztet alakított. Innentől kezdve sorra jöttek a negatív, jellemzően a „szocializmus ellensége” karakterek. Erről nyolcvanadik születésnapján így vallott a Hír TV-ben: „Beskatulyáztak. Ha a filmgyárban kerestek negatív figurát, azt mondták: Kautzky, Inke, Csurka, amelyik ráér, jöjjön. Nagyon nehéz ledobni ezt a rásütött pecsétet az ember válláról.”
