Létezik-e abszolút igazság? – erről a kérdésről szól Rényi Alfréd gyönyörű írása, a Dialógus a matematikáról. Ennek nyomán fogunk elindulni. A beszélgetés Szókratész és az ifjabb Hippokratész (a matematikus) között zajlik. Ennek során azt a kérdést is megvizsgálják, hogy mennyiben ad biztosabb és csalhatatlanabb tudást a matematika, mint bármely más ismeret. Hippokratész idézi tanítómesterét, Theaitétoszt, aki számos példát említ: nem mondhatjuk meg pontosan, hogy milyen messze van Spárta Athéntől, sem azt, hogy pontosan hány ember él Hellászban. Ezzel szemben, ha a matematikában azt mondjuk, hogy egy dodekaédernek 30 éle van, ez pontos és megkérdőjelezhetetlen állítás.
Ha a mindennapi élet bizonytalan igazságaival szemben abszolút igazságot keresünk, azt csak a szellemi világban találhatjuk meg. De a különböző vallások és a filozófia igazságai ellentmondanak egymásnak. A társadalomtudományok igazságai gyakran az ideológia függvényei. Maradnak a „kemény” természettudományok, amelyeknél viszont az új kísérleti eredmények folyton módosítják, vagy éppen felrúgják a korábban megállapított igazságokat.
Láthatóan csakis a matematika képes megállapítani abszolút és megdönthetetlen igazságokat. Szókratész a Dialógusban megvilágítja: ennek a titka abban áll, hogy a matematika nem a bizonytalan és megfoghatatlan létezőkkel, hanem számokkal és absztrakt formákkal foglalkozik, amelyeket precízen definiál, minden kétértelműség nélkül. A matematika nem más, mint absztrakt fogalmakkal való játék, és ha az igazságai abszolútak is, igazságainak érvénye egy elvont, távoli, nem létező világra szorítkozik. A matematika igazságai végül is a valóságról szólnak. Ha a kör egy tulajdonságát megismerjük, ezzel minden kör alakú dologról megtudunk valamit. A valóság bonyolult viszonyait tesszük átláthatóvá és vizsgálhatóvá, ha messzebbről nézve, az absztraktum felől tekintünk rájuk. Ahogy Galilei fogalmazott: a természet nyelve a matematika. A matematika és a valóság szoros kapcsolata kétségbevonhatatlan. Mindenki tudja, hogy a matematika eredményei nélkül nem lennének hidak, mobiltelefonok, és nem lenne internet. De a kapcsolat fordítva is létezik: a matematika fejlődésének egyes forradalmi szakaszait egyértelműen a valóság megismerésének vágya motiválta.
A matematikusok problémákat oldanak meg, és elméleteket gyártanak. Ez a két tevékenység tulajdonképpen ugyanaz: egy nehéz probléma megoldásához általában elméletet kell gyártani, egy elmélet megalkotása pedig sok kis lépésből áll, és minden lépés egy-egy probléma megoldását jelenti. Itt nincs mód arra, hogy az elméletalkotást illusztráljam vagy bemutassam. Matematikai problémák ismertetésére viszont van lehetőség.
Mai értelemben vett matematikával az ókori görögök – Thalész és Püthagorasz – kezdtek foglalkozni Kr. e. a VI. században. Ebben az időben fogalmazták meg a három klasszikus geometriai problémát, amelyek sok évszázadon át lázban tartották a matematikusokat. Ezek geometriai szerkeszthetőségekre vonatkoznak, tehát arra, hogy az alakzat körző és (jelöletlen) egyenes vonalzó segítségével véges számú lépésben előállítható.
Az első probléma a kör négyszögesítése volt, vagyis hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos területű négyzetet szerkeszteni. Ezzel ekvivalens kérdés, hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos hosszúságú szakaszt szerkeszteni. A kérdés Kr. e. az V. század második felében olyan népszerű volt, hogy Arisztophanész a Madarakban (Kr. e. 414) már gúnyolódik a körnégyszögesítőkön. Nem végleges megoldási kísérlet gyanánt Hippiász már Kr. e. az V. században felfedezte a quadratrix nevű görbét. A probléma mindig is a köztudatban maradt. Még a Thomas Mann Varázshegyében szereplő Paravant államügyész is megszállottan keresi a megoldást.
A második klasszikus geometriai probléma a szögharmadolás kérdése: lehetséges-e egy adott szög egyharmadát megszerkeszteni? A quadratrix erre is megoldás. Már Arkhimédész tudta, hogy a szögharmadolás elvégezhető az úgynevezett „betoló vonalzóval”. Persze egyik megoldás sem szabályos.
A harmadik klasszikus geometriai probléma az úgynevezett déloszi probléma vagy kockakettőzés: olyan kockát kell szerkeszteni, amely kétszer akkora térfogatú, mint egy adott kocka. A kockakettőzés például szintén megoldható betoló vonalzóval, de szabályos megoldást egyet sem találtak az évszázadok során.
E három klasszikus problémáról csak a XVIII. század végén és a XIX. században sikerült bebizonyítani: egyik sem oldható meg. Mindegyik probléma bizonyos távolságok szerkesztését kívánja. Ez körnégyszögesítésnél a p, szögharmadolásnál a koszinusz 20° (ha a 60 fokos szöget akarjuk harmadolni), kockakettőzésnél pedig a köbgyök kettő. Mármost egy ? távolság csak akkor lehet szerkeszthető, ha a gyöke egy olyan egész együtthatós egyenletnek, amely nem egyszerűsíthető, és a foka 2-nek egy hatványa. Ezt Carl Friedrich Gauss, minden idők egyik legnagyobb matematikusa fedezte fel még 20 éves kora előtt, 1796 körül.
Itt érdemes megállni egy pillanatra. Gauss felfedezése valaminek a lehetetlenségét állítja: lehetetlen olyan szerkesztést találni, amely éppen köbgyök kettő hosszúságú szakaszt produkál, mert ilyen szerkesztés nem létezik. Ez illusztrálja a matematikai igazságok abszolút voltát. „Semmilyen más tudomány, sőt az emberi törekvések egyetlen más területe sem álmodozhat ilyen visszavonhatatlan véglegességről” – írja Mark Kac és Stanislaw Ulam Matematika és logika című könyvében.
A körnégyszögesítés problémája nehezebbnek bizonyult. Egy p hosszúságú szakasz nem azért nem szerkeszthető, mert a p transzcendens szám, azaz nem gyöke semmilyen egész együtthatós egyenletnek sem! Ferdinand Lindemann volt az, aki elődjei, Joseph Liouville és Charles Hermite módszereit továbbfejlesztve 1882-ben megmutatta, hogy a p transzcendens, és így a körnégyszögesítés sem oldható meg euklideszi szerkesztéssel.
Több olyan problémát is ránk hagyományoztak a régi görögök, amelyet még ma sem tudunk megoldani. Kettő a tökéletes számokkal kapcsolatos. A tökéletes szám definícióját Eukleidésznél találjuk: egy szám tökéletes, ha egyenlő az osztói összegével. Így például 6=1+2+3 vagy 28=1+2+4+7+14. Eukleidész receptet is adott a tökéletes számok konstrukciójára, ami mai jelöléssel azt jelenti, hogy (1+2+4+...+2n)x2n tökéletes szám lesz, feltéve, hogy a (1+2+4+...+2n) öszszeg prím. Mármost itt két kérdés merül fel.
Egyrészt vajon megadja-e ez a recept az összes tökéletes számot? Leonard Euler, a XVIII. század legnagyobb matematikusa bebizonyította, hogy a páros számok körében nincs más tökéletes szám, csak az Eukleidész által leírtak. De mi a helyzet a páratlan számokkal? Vannak-e egyáltalán páratlan tökéletes számok? Ez a kérdés 2300 éve megoldatlan. Pillanatnyilag annyit tudunk, hogy a legkisebb páratlan tökéletes számnak (ha létezik ilyen egyáltalán) legalább 300 jegyűnek kell lennie (lásd http: //www.oddperfect.org).
A másik alapvető kérdés Eukleidész algoritmusával kapcsolatban az, hogy hány páros tökéletes szám van. Vajon végtelen sok van-e, vagy a tökéletes számok sorozata egy ponton véget ér? A tökéletes számok vadászata 2300 éve folyik. Mivel csak Eukleidész receptje áll a rendelkezésükre, ezért a matematikusok 1+2+…+2n alakú prímszámokat keresnek. Ezeket Mersenne-prímeknek nevezzük egy XVII. századi matematikus és szerzetes után, aki először állított össze táblázatot az ilyen prímekből. (Például a hetes szám Mersenne-prím, mivel 7=23–1=8–1, és hasonlóan: 31=25–1=32–1.)
Minden jel arra mutat, hogy a Mersenne-prímek sorozata (és így a páros tökéletes számok sorozata is) végtelen, e tény bizonyítása azonban meghaladja jelenlegi tudásunkat.
De térjünk vissza a prímszámokhoz! A matematikusok absztrakt, „elgondolt” dolgokkal foglalkoznak, és ezek között mindig is különleges helyet foglaltak el a prímszámok. Új, még nem ismert prímszámok megtalálása ugyanolyan izgalmas, mint megmászni egy még magasabb hegyet. A nagyobb és nagyobb prímszámok vadászata általában egybeesik az új Mersenne-prímek keresésével. Ennek oka, hogy a XIX. században megalkottak egy egyszerű tesztet, amellyel egy 1+2+…+2n alakú számról eldönthető, hogy prím-e, vagy sem. A számítógépek pedig amúgy is kettes számrendszerben dolgoznak, tehát a 2-hatványokkal különösen gyorsan tudnak számolni. A jelenleg ismert legnagyobb prímnek csaknem tízmillió számjegye van. A http: //primes.utm.edu/ weboldalon még egy előrejelzést is láthatunk: eszerint 2015-ig valószínűleg találunk egy százmillió jegyű prímet, 2024-ig pedig egy egymilliárd jegyű prímet.
A prímek vonzerejét nem kis részben az adja, hogy látszólag összevissza helyezkednek el a számok között, nincs olyan egyszerű képlet vagy szabály, amelynek alapján a prímek sorozatát legyárthatnánk. (Így nem kellene vadászni rájuk.) Ezért a matematikusok táblázatokat készítettek róluk. Az ifjú Gauss (ekkor még nem volt 15 éves) a rendelkezésére álló prímtáblázatok alapján nekiállt, és számolni kezdte a prímeket, hogy legalább valamilyen statisztikus szabályt próbáljon találni. A számokat ezres csoportokba osztotta, és megszámolta, hány prím van egy véletlenszerűen kiválasztott csoportban. A tendencia világos: az ezres csoportokban egyre kevesebb prím van (ha nem is kivétel nélkül). Gauss egész életében, valahányszor egy új prímtáblázat megjelent, mindig ellenőrizte, hogy az új numerikus adatok alátámasztják-e a 15 éves korában megsejtett összefüggést. Később megalkotta nevezetes prímszámtételét [a prímszámok száma c-ig – tehát p(c) – körülbelül Li(c). Gauss szerint Li(c) olyan jól közelíti p(c)-et, hogy a relatív hiba egyre elenyészőbb, azaz a p(c)-Li(c) hiba p(c)-hez viszonyítva 0-hoz tart].
Bernhard Riemann írt egy dolgozatot 1859-ben, amelyben a matematika egyik, a számelmélettől látszólag távol eső területét, a komplex függvénytant vetette be a prímszámok vizsgálatába. Komplex függvénytani nyelven formulát vezetett le a prímek számára, amelyből a prímszámtétel azonnal következett, ez lett az úgynevezett Riemann-sejtés, amely a közmegegyezés szerint ma is az első számú megoldatlan problémának számít a matematikában, amelynek a megoldásáért a Clay Mathematical Institute egymillió dollárt hajlandó fizetni.
De vajon megoldható-e minden matematikai probléma? David Hilbert életének legnagyobb részében szilárdan hitt ebben. Párizsi előadásában (1900) is kifejtette, hogy idővel minden szabatosan megfogalmazott problémát meg tudunk oldani. Vagy úgy, hogy megtaláljuk a megoldáshoz vezető módszert, vagy pedig úgy, hogy bebizonyítjuk a megoldás lehetetlenségét. Hilbert egész életében propagálta ezt a nézetet, és egyik célja volt, hogy a matematika axiomatikus alapokra való helyezésével belássa a világ, hogy minden probléma megoldható. Erről szól jelmondata, mely a síremlékén is olvasható: „Wir müssen wissen, wir werden wissen” („Tudnunk kell – meg fogjuk tudni”).
Ezért óriási szenzációt keltett, amikor 1930-ban Kurt Gödel bebizonyította, hogy Hilbert célja elérhetetlen: minden „valamire való” axiómarendszerben vannak olyan állítások, amelyeket sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet az adott rendszerben. Ez a szenzáció a matematikán kívül még ma sem ült el egészen. A matematikusok hamar túltették magukat ezen a fejleményen. A helyzet az, hogy Gödel tétele egyáltalán nem érinti a matematikai igazságok abszolút voltát. Ha egy matematikai igazság bizonyítást nyer, éppúgy abszolút és örök érvényű marad Gödel tétele után, mint volt Gödel tétele előtt. A különbség abban áll, hogy egy problémát vizsgálva nem tudhatjuk eleve, hogy megoldható problémával állunk-e szemben, vagy pedig olyannal, amelyet elvileg sem lehet eldönteni. Ez tulajdonképpen még izgalmasabbá teszi a matematikai kutatást. Egyes területeken néha kiderül egy problémáról, hogy sem bizonyítani, sem pedig cáfolni nem lehet az adott axiómákat elfogadva. Ha egy ilyen kérdés fontos, vagy sokszor felbukkan, akkor axiómaként kell kezelnünk, és meg kell vizsgálnunk a következményeit. Ugyanezt kell tennünk, ha a tagadását feltételezzük. Így elméletek színes együttese jön létre, amelyeknek logikai kapcsolatát külön kell vizsgálni.
A számelméletben még nem találkoztunk olyan kérdésekkel, amelyekről bebizonyosodott volna, hogy eldönthetetlenek. Gödel bebizonyította, hogy ilyen kérdések vannak, sőt a bizonyításában konstruált is ilyen állításokat.
De vajon olyan nagy baj ez? Mit jelentett volna, ha Hilbert álma igaznak bizonyul? Azt, hogy a matematikai állítások eldöntése algoritmikusan megoldható. Más szóval, hogy kész recept, automatikus eljárás létezne minden probléma eldöntésére, és hogy ezt végső soron egy komputer, egy gép is el tudja végezni. Gödel megmutatta, hogy nem ez a helyzet, vagyis az ember leleményessége és intuíciója nem nélkülözhető a matematikai kutatásokban. Végül is Gödel csak azt bizonyította, amit minden matematikus amúgy is tudott: vagyis hogy a matematika nemcsak tudomány, hanem művészet is.
A fenti szöveg a november 6-án elhangzott előadás rövidített változata. Az előadás megtekinthető november 11-én (szombaton), 9.40-kor az m1, 10.40-kor a Duna Televízió és 13-án (hétfőn), 9 órakor az m2 műsorán. A következő előadást 13-án, 19.30-kor a Jövő Háza Teátrumban (Budapest II., Fény utca 20–22.) Gulyás Balázs tartja Tudatboncolás PET-tel címmel. A részvétel ingyenes, az előadások teljes szövegét a hozzászólásokkal és a vitával együtt a www.mindentudas.hu weblapon találják meg az érdeklődők.
origo.hu
Zelenszkij megtámadta a Voks 2025-öt és köszönetet mondott a Tisza Pártnak
