Családja régi, híres nemesi família: egyik őse, Almásy Pál volt az, aki például 1849. április 14-én Debrecenben kimondta a Habsburg-ház trónfosztását. Az utazás is a vérében volt: László nagyapja alapító tagja a Magyar Földrajzi Társaságnak, apja, György pedig Kelet-Ázsiába vezetett expedíciókat. Ilyen családi háttérrel nem csoda, hogy az éppen 120 éve, 1895-ben született László is naphosszat nagy utazók könyveit bújta a család borostyánkői birtokának tekintélyes könyvtárában. Grazban végezte középiskolai tanulmányait – innen azért kellett távoznia, mert biciklijével véletlenül elütötte az igazgatót –, majd Angliában tanult, itt magába szívta az angolszász kultúrát és a nyelvet, valamint az Afrika iránt való érdeklődését is innen datálják.
Az első világháborút felderítőként harcolta végig, részt vett IV. Károly király első királypuccsában is 1921-ben; a király következetesen gróf úrnak szólította, innen ered az a téves információ, hogy gróf volt – holott a családnak ezen ága nem volt jogosult a cím használatára, bár Almásy maga is otthonosan mozgott az arisztokrata körökben.
Az autóversenyzőként is híressé vált Almásy. Egy Steyr autóval Esterházy Antallal az egyiptomi Alexandriából kiindulva a Nílus völgyében végighaladva átkelt a Núbiai- és a Berber-sivatagon is, a hírverésnek köszönhetően a cég kairói képviseletének vezetője lett.
Bejárta a Kelet-Szaharát és a Líbiai-sivatagot, megismerkedett az egyiptomi uralkodócsalád számos tagjával, akik bizalmukba fogadták és anyagilag is támogatták harmincas évekbeli sivatagi kutatóútjait, amelynek során számos fehér foltot tüntetett el a térképről, elfeledett oázisokban ismeretlen, ősi kultúrák nyomaira is bukkant, sőt a magyarábokkal is ő találkozott először (néhány éve lapunk munkatársa is Almásy nyomába eredt, riportját ide kattintva olvashatja).
Itt szerzett terepismerete később nagyon hasznosnak bizonyult, amikor a második világháborúban a németek az afrikai hadműveleteik támogatására „kikérték” a magyar hadseregtől. Almásyt azonban leginkább ekkor is a kutatás lehetősége motiválta, mindenesetre az 1942-es Salaam hadművelet során az ő vezetésével juttattak kalandfilmbe illő módon német hírszerzőket mélyen az angol vonalak mögé, míg a britek hiába keresték őket a sivatagban (a szomjhaláltól az 1932-es kutatása során elrejtett, alaposan lezárt vizeskannák mentették meg a társaságot).