1929. szeptember 21-én született Budapesten. 1946-ban Kőbányáról került a Ferencvároshoz, és már húszévesen tagja volt a zöld-fehérek bajnokcsapatának. Az FTC-ből 1949-ben az Élelmezésipari Dolgozók Országos Szövetsége (ÉDOSZ) focicsapata lett, Kocsis – vagy ahogy a pályán becézték: Kocka – egy évvel később pártutasításra került a legjobb játékosok gyűjtőhelyének kijelölt Bp. Honvédhoz. (Mivel sorköteles volt, másik választása a sorkatonai szolgálat lett volna.) A kispesti csapattal 1956-ig négy bajnoki címet szerzett, és háromszor lett gólkirály, az NB I-ben 249 mérkőzésen játszott, és 247 gólt szerzett.
A válogatottban 1948-ban a románok ellen mutatkozott be, és rögtön két gólt szerzett. A felhőfejeseiről ismert jobbösszekötő 68-szor húzta magára a címeres mezt, és 75 gólt szerzett (gólátlaga így mérkőzésenként egy gólnál is jobb), az Aranycsapat 69 mérkőzése közül csak négyen nem szerepelt. A hosszú éveken át veretlen Aranycsapat leggólképesebb játékosaként tagja volt az 1952-es helsinki olimpián aranyérmet nyert válogatottnak, játszott – bár gólt nem szerzett – 1953-ban a Wembley Stadionban az „évszázad mérkőzésén”, amikor a magyar csapat 6-3-ra legyőzte a hazai pályán addig veretlen angolokat.
Az Aranycsapat az 1954-es svájci világbajnokságra abszolút esélyesként utazott, de csak az idehaza rendkívüli csalódást keltő második helyen végzett, a berni döntőben 3-2-re kikapott az NSZK válogatottjától. A vb legeredményesebb góllövője, a világbajnokságok egyetlen magyar gólkirálya Kocsis lett, 11 találatánál csak egyszer, négy évvel később tudtak többet szerezni egy tornán, a meccsenkénti gólátlagot tekintve pedig még mindig ő a legjobb.
Az 1956-os forradalom alatt a Honvéd külföldön játszott BEK-mérkőzést, és a bizonytalan hazai állapotok miatt vártak a visszatéréssel. A csapatnak 1957 elejére egy MLSZ által nem engedélyezett dél-amerikai turnét szerveztek, amelyre a játékosok többsége – köztük Kocsis is – elutazott. Az illegális turnéról az idehaza rájuk váró büntetéstől félve nem tért haza. Másfél éves eltiltásának letelte után – ez idő alatt a svájci amatőr Young Fellows csapatában játszott – Czibor Zoltánnal együtt az FC Barcelonához szerződött, ahová az akkor már évek óta a klubban játszó Kubala László ajánlotta be.