Lábnyom a tükörben

Amikor Neumann János az amerikai egyetemi városba, Princetonba érkezett, megdöbbenve állapította meg, hogy ott nincsenek kávéházak. Vajon lehetne-e ma Budapesten „szimmetrikus” művészeti-tudományos találkahelyet nyitni?

A szimmetria (görögül szümmetria, latinul symmetria) azon kevés fogalmunk közé tartozik, amelyeket az ókortól kezdve mind a tudományban, mind a művészetben használnak. Az igaz, hogy a szerepe nem volt mindig „szimmetrikus”. Talán csak az ókor egy korszakára mondhatjuk, hogy körülbelül egyforma gyakorisággal használták a kultúra mindkét területén, a tudományban és a művészetben egyaránt. Maga a fogalom valószínűleg a pitagoreusoktól ered, és a szakaszok összemérhetőségére vonatkozott (szün- = -val, -vel; közösen; együtt; metron = mérték). Két szakasz hossza lehet összemérhető (szümmetrosz, például 1 cm és 2 cm), de lehet összemérhetetlen is (aszümmetrosz, például a négyzet oldala és átlója esetén 1 cm és 2 cm). Vannak tehát kedvelt arányok (szümmetria) és kellemetlenek (aszümmetria). Ez a kettősség persze megvan az algebrai kifejezéseknél is: racionális, illetve irracionális számok, ahol az előítéletet azonnal érezhetjük az utóbbinál. Már miért lenne valami irracionális éppen a matematikában? Mindenesetre ez lehetett az a korszak, amikor a szümmetria „betört” a művészet és az esztétika terminológiájába is. A szobrász Polükleitosz Kánon című művében, amelyből sajnos csak töredékek maradtak fenn, lelkesen ír az emberi test szümmetriájáról. Persze itt szó sincs a test bal és jobb oldalának tükörszimmetriájáról (erre a jelentésre még úgy kétezer évet kellett várni), hanem Polükleitosz az emberi test arányairól beszél.
Nem sokkal később Platónnál és Arisztotelésznél is megtaláljuk a szümmetria kifejezést, és ami különösen érdekes: mind matematikai, mind esztétikai értelemben. Ez az a korszak tehát, amikor „szimmetrikus” volt a szümmetria szerepe: fontos geometriai fogalom volt (összemérhetőség) és ugyanakkor a szépség egyik kritériuma (helyes arányok). Az ókori latinban azonban ez már nincs így. Nevezetesen mindkét jelentésre új kifejezést alkottak:
– szümmetria (geometriai összemérhetőség) – commensura (con + mensura);
– szümmetria (esztétikailag helyes arányok) – proportio (pro + portio)
Mi lett szegény szümmetriával? Plinius határozottan kijelenti, hogy nincs latin szó erre a görög kifejezésre. De aki kinyitja Vitruvius De architecturáját, láthatja, hogy ez nem teljesen így van (De architectura libri decem, magyarul Tíz könyv [fejezet] az építészetről). Az kétségtelenül igaz, hogy nem sokan vették át ezt a kifejezést, de a vitruviusi szövegben, amelyet több kéziratból rekunstruáltak, a latin symmetria és az ebből származtatott kifezések gyakran szerepelnek, összesen 85-ször, ami nem lehet véletlen. A zavart csak fokozza, hogy Vitruvius a proportiót is használja, és a különbség a kettő között nem teljesen nyilvánvaló, hiszen mindkettő a helyes arányokkal kapcsolatos. Erwin Panofsky művészettörténész szerint a vitruviusi symmetria inkább az esztétikai elvre utal, míg a proportio a technikai módszerre (Az emberi arányok stílustörténete, Budapest, 1976).
Mikor jelent meg a szimmetria kifejezés a modern nyelvekben? Természetesen most nem az ógörög és a latin nyelvre gondolunk, hanem csak az ezekből történt modern átvételekre. A legismertebb történeti-etimológiai szótárak azt a választ adják, hogy a szimmetria kifejezés első modern változata a francia nyelvben jelent meg 1529-ben. E sorok írója azonban arra vetemedett, hogy kimutassa, a szótárak tévednek, nemcsak a franciák, hanem az Oxford English Dictionary (20. kötet, 1989), a Grimm testvérek (igen, ugyanaz a testvérpár, amelyik hosszú ideig uralta mesevilágunkat) kezdeményezte Deutsches Wörterbuch (16. kötet, Lipcse, 1958; 33. kötet, München, 1984), a Dizionario etimologico italiano (5. kötet, Firenze, 1975). Arra gondoltam ugyanis, hogy a reneszánsz korszak Vitruvius-fordítói és -magyarázói nem használhatták a latin symmetria és proportio kifejezésekre ugyanazt a szót, s így be kellett hogy vezessék a symmetria modern megfelelőit. Valóban: sorra találtam Lorenzo Ghiberti (1450 táján), Francesco di Giorgio Martini (1480 táján) kéziratos műveiben és Cesare Cesariano nyomtatott olasz Vitruvius-fordításában (Como, 1521) a latin symmetria olasz megfelelőit. A XVI. század közepéig Vitruvius könyvét mint az ókori építészet alapvető forrásművét spanyolul, franciául és németül is kinyomtatták. De ha a lúd szimmetrikus, akkor legyen kövér. Ne csak az arányai legyenek szépek, hanem a bal és jobb oldala is „összemérhető”. Claude Perrault zoológus és építész, aki a Louvre tervezésében is részt vett, újra lefordította Vitruviust franciára (Párizs, 1673), és itt hosszú jegyzetet írt a szimmetria szerepéről, valamint ennek régi és új jelentéséről: arányosság, illetve a bal és a jobb oldal megfelelése. Hamarosan a tudomány számos területén, így a matematikában, majd a kristálytanban, fizikában, kémiában, biológiában és természetesen a mindennapi nyelvben is megjelent a „szimmetria” kifejezés új értelmezése: tükör- vagy tengelyes szimmetria.
Mi a szimmetria modern jelentése a matematikában? Egy síkbeli alakzat tükörszimmetrikus, ha egy tengelyre vetítve önmagába megy: például egy függőleges tengely esetén a bal oldal a jobb oldalba és a jobb oldal a bal oldalba megy, pontosan illeszkedve a fedésnél, mert ugyanolyanok. Az önmagába való leképezés (idegen szóval automorfizmus) gondolatát tovább is vihetjük. Az alakzat lehet térbeli, és akkor egy síkra kell tükrözni. Sőt lehetnek más műveletek is: az S betűnek például nincs szimmetriatengelye, de a középpontja körül 180 fokkal elforgatva önmagába megy. Ezért azt mondhatjuk, hogy az S betű forgásszimmetrikus. Egy sorminta, feltételezve, hogy végtelen hosszú, csúsztatással is önmagába vihető. Ha a lábnyomokat nézzük a hóban vagy a puha földben egyenes ösvényen, akkor sokszor további szimmetriát is megfigyelhetünk. Most gondoljunk egy emberre vagy egy sétáló madárra, amelyik nem szökdécsel, hanem lépked: bal, jobb, bal, jobb… (négylábú állatoknál más a minta).
A szimmetria általánosabb matematikai értelmezése szerkezeti rendre utal. A szimmetriaelméletnek pedig az a jelentősége, hogy az összes elképzelhető típust meg tudja adni egy adott osztályban (például periodikus minták, illetve kristályok, molekulák, atomok szerkezete), függetlenül attól, hogy a művészetben, illetve a természetben ezeket felfedezték-e már, vagy sem. Itt a kísérleti és az elméleti tudomány érdekes találkozását láthatjuk. Leírták, milyen struktúrákat találtunk az eddigiekben, most az elméleti tudomány rendszerbe foglalja ezeket, és kiegészíti a „listát”: figyelem, még vannak további lehetőségek. Ez nagyon hasonlít ahhoz, amit Mengyelejev periódusos táblázata jelentett a kémiai elemek körében: nemcsak az akkor ismert elemeket sorolta fel, hanem kijelölte azokat a helyeket, ahol újak lehetnek. Nyilvánvalóan az az áttekintés, amelyik a „teljességet” mutatja be a változatok között, fontos a tudományban. Ugyanakkor a művészetnek nem ez a szokásos problémája, hanem az, hogy néhány különlegesen érdekes esetet megtaláljon. Persze vannak kivételek, ahol mégis a teljességre törekedtek, gondoljunk például M. C. Escher periodikus grafikáira, Bach zenei motívumaira A fúga művészetében vagy Raymond Queneau Százezermillárd című versére. A műalkotások elemzésekor pedig az egzakt módszerek is hasznosak lehetnek, például a díszítőművészeti minták katalogizálásánál, a motívumok vándorlásának követésénél.
A szimmetria további általánosítási lehetősége, hogy nem geometriai, hanem más fizikai tulajdonságok megmaradását, illetve invarianciáját (változatlanságát) követeljük meg. A kétkarú mérleg serpenyőit általában úgy hozzuk egyensúlyba, hogy az egyik oldalon egy tárgy van, a másikon egy adott készletből kiválasztott súly vagy súlyok. Itt nyilván nincs geometriai tükörszimmetria, de azt mondhatjuk, hogy az egyensúly (azonos súly) egyfajta fizikai szimmetria. Sokszor mondják, hogy a japánkertben nincs szimmetria, de van egyensúly és harmónia. Itt is arról van szó, hogy nincs geometriai szimmetria, de van valamilyen kompozíciós szimmetria: például az egyik oldalon egy tavacska („tenger”) tart egyensúlyt a másik oldalon levő kövekkel („hegyekkel”). A fizikában a megmaradási törvényeket, például az energiamegmaradásét hozhatjuk kapcsolatba a szimmetriával (Noether, Wigner). A magyar származású Nobel-díjas fizikus, Wigner Jenő úgy fogalmazott, hogy vannak jelenségek, természeti törvények és szimmetriák, amelyek a törvények törvényei (Szimmetriák és reflexiók, Budapest, 1972). S ahogy Mengyelejev új kémiai elemeket tudott megjósolni a periódusos táblázat segítségével, a fizikusok új elemi részecskéket fedeztek fel a szimmetriák segítségével (Murray Gell-Mann, Yuval Ne’eman).
Térjünk vissza egy pillanatra a népművészethez! Ha a díszítőművészetet emítettük a geometriai szimmetriák kapcsán, akkor a népmesékre utalhatunk az invariancia fogalmánál. Az invarianciát itt úgy értelmezhetjük mint típusalkotó sajátosság, olyan meghatározó motívumok együttese, amelyek változatlanok maradnak. S ha már a törvényeknél tartunk, említsük meg a népmesék önhelyreállításának törvényét (W. Anderson), amelyhez hasonlót a népzenében is megfigyelhetünk. Vannak különböző variációk, de az egymást korrigáló előadások során előbb-utóbb beáll a „legkedvezőbb” forma. Ennek a kérdéskörnek számos magyar kutatója is volt (Ortutay, Kodály és mások). Tegyük hozzá, hogy az invariáns fogalmát a néprajzban más értelemben is használják: olyan forma, amelynek nincsenek változatai (variánsai). Persze a kétféle értelmezés néha összefügghet: lehet, hogy a gyűjtők azért nem találják a változatokat, mert már régen kialakult egy invariáns forma, illetve helyreállt az eredeti archetípus.
Talán túl szimmetria-központúak voltunk az előzőekben, és „szegény” aszimmetriával az ókori görögök óta nem foglalkoztunk. Ne feledjük, hogy a szimmetria-aszimmetria ellentétpár két kifejezése egyszerre született, és mind az ókori görög jelentéseknél (összemérhetőség, illetve összemérhetetlenség; helyes arányok, illetve ezek hiánya), mind a modern hétköznapi értelmezésnél (van tükörszimmetria, illetve nincs) az utóbbinak is van létjogosultsága a tudományban és az esztétikában egyaránt. Vagyis nemcsak a szimmetria lehet fontos, hanem az ettől való eltérés is. A népmeséknél és a népdaloknál láttuk a variációk szerepét, és ezek segíthetik a kedvezőbb forma kialakulását. Ugyanezt elmondhatjuk más területeken is. A művészi kánonokban a meghatározott, tökéletesnek tekintett arányoktól való kisebb eltérés fontosságát már néhány ókori filozófus is hangsúlyozta (Szókratész, Plotinosz), míg a merev, tükörszimmetrikus kompozícíótól való elszakadást több művész meghirdette, köztük festők (W. Hogarth) és építészek (Viollet-le-Duc). „A szimmetria szerencsétlen ötlet, amelyért otthonainkban feláldozzuk a kényelmünket, alkalmanként a józan észt és mindig sok pénzt”– írta Viollet-de-Duc. Mondjuk tehát, hogy le a szimmetriával, éljen az aszimmetria? Ám van itt egy jelentéstani kérdés is. Az eredeti görög matematikai értelmezésnél még nincs semmi probléma: két szakasz vagy összemérhető, vagy összemérhetetlen. Az arányoknál, sőt a tükörszimmetriánál már nem teljesen ez a helyzet: egy tárgy lehet például kicsit aránytalan vagy majdnem tükörszimmetrikus is. Nem mondhatjuk róla, hogy szimmetrikus, de azért túlzás lenne aszimmetrikusnak nevezni. Vagyis nemcsak egy ellentétpárra van szükségünk (fehér-fekete), hanem a köztes állapotokra is (a nem fehér lehet szürke, barna stb.):
szimmetria aszimmetria
(tökéletes rend) (teljes káosz)
disszimmetria (köztes)
Az aszimmetria és a disszimmetria tehát nem rokon értelmű kifejezések. A szimmetria és az aszimmetria (az a- itt fosztóképző) jelenti a két szélső állapotot, míg a disszimmetria (disz- = valaminek a hiánya) a közteseket. Az utóbbi kifejezést több tudós népszerűsítette a XIX. században (Pasteur, Pierre Curie), és most ezt próbáljuk folytatni. A matematikában a (disz)szimmetria mértékét is bevezethetjük: azt mérjük, hogy egy alakzat mennyire tér el a hozzá legközelebbi szimmetrikus változattól. Tökéletes szimmetria nincs a természetben és a művészetben, csak a matematikában. Érdekes tehát megmondanunk, hogy egy alakzat mennyire szimmetrikus. Ennek újabban a biológiai kutatásokban is jelentősége van: rovarok és madarak párválasztási szokásait tanulmányozva kiderült, hogy az egyed szimmetriája fontos szerepet játszik. A fizikában alapvető szerepet kapott a szimmetriasértések felfedezése az 1950-es években (Lee és Yang). Ahogy az emberek között is vannak balkezesek és jobbkezesek, úgy – a fizikusok meglepetésére – elemi részecskék között is előfordulhat ilyen jelenség. A matematika, pontosabban a nem lineáris matematika fejlődése (káoszelmélet, fraktálok) pedig abban segített sokat, hogy többet tudjunk a latszólagos káoszban levő rendről…
Van tehát egy közös kifejezésünk: a szimmetria. Igaz, hogy nem mindig ugyanazt értjük rajta, de a belőle képzett szavak jelentése azért rokonítható (és más területekre is átvihető):
– tükörszimmetria, forgásszimmetria, kristálytani szimmetriák, invariancia (a tudományban); – arányosság, egyensúly, ismétlődés, ritmus, szerkezeti rend (a művészetben).
Ez a fogalomkör alapja lehet egy „szimmetrikus” kávéháznak, ahol – a régi magyar tradíciókhoz hasonlóan – a legkülönbözőbb témakörök képviselői találkozhatnak. Nem állítom, hogy erre minden művésznek és kutatónak szüksége van, de azt igen, hogy mindkét oldalon lehet ilyen igény. Persze a „szimmetria” itt már metaforikussá válhat: a téma nemcsak a szimmetria, hanem a művészet és tudomány területeinek „szimmetrikus” kapcsolata is. Korunkban sok olyan probléma van, amely annyira összetett, hogy nem várhatjuk a megoldásukat szűkebb szakmai körökből. Kell tehát a széles körű párbeszéd és a szimmetria.
A szerző matematikus