A budapesti polgári családból származó zenész édesapja, Szörényi Gyula festőművész és grafikus, tanár hegedült, így gyermekként testvérével, Leventével együtt ő is hegedülni tanult, de egyikük sem érezte igazán sajátjának a hangszert. Tanáruk, egyben keresztanyjuk, Takács Alice, az Operaház hegedűművésze volt. A szülők 1956 szeptemberében beíratták a testvéreket a szobi állami fiúnevelő intézetbe, ahol bekerültek az intézet mandolinzenekarába. Szabolcs gitározott, majd basszusgitárra váltott, és maradt is ennél a hangszernél.
Két év múlva Vácra került a gimnáziumba, ahová Levente is követte, itt egy triót alakítottak. Az akusztikus hangszerekből házilag fabrikáltak elektromost, s Mediterrán nevű együttesükkel, amelyben a testvérek mellett Kőszegi Imre és Bajtala János is játszott, 1962-ben az országos Ki mit tud?-on az elődöntőig jutottak.
Az ifjú zenész középiskola után a Budapesti Műszaki Egyetemre jelentkezett, ahová nem vették fel, így két évre ipari tanuló lett, elektroműszerészként szerzett képesítést. Másodjára sikerült bekerülnie az egyetemre, azonban nem a közlekedésmérnöki, hanem az általános mérnöki szakra. Egy év múlva abba is hagyta tanulmányait. 1964 nyarán akkoriban jelentősnek számító honoráriumért, napi száz forintért játszott a siófoki Matróz csárdában.
1965 januárjában testvére, Levente által került be a már évek óta működő Illés-együttesbe. Még abban az évben kialakult a klasszikus felállás: a Szörényi fivérek mellett a billentyűs hangszereken játszó Illés Lajos, a gitáros Bródy János és a dobos Pásztory Zoltán voltak az együttes tagjai.
Azon a nyáron a nógrádverőcei ifjúsági táborban játszottak, minden este három-négy órát, fejenként 50 forintért. Ott csiszolódott teljesen össze a zenekar, és ott születtek meg az első magyar nyelvű beatdalok is, köztük Az utcán, a Mindig veled, az Óh, mondd és a Légy jó kicsit hozzám. Még abban az évben elkészítették az első magyar nyelvű beatkislemezt, Táskarádió címmel, Koncz Zsuzsa pedig elénekelte a tévében Szörényi Levente Rohan az idő című dalát, amelyet a Sanzonbizottság első körben nem engedélyezett. A szerzemény dalszövegírója S. Nagy István volt.
A Még fáj minden csók című számuk – habár 1966-ban az I. Táncdalfesztiválon elnyerte a megosztott második díjat – megosztotta a közönséget. Az 1968-as fesztiválról azonban már szinte minden díjat, közte a fődíjat is elhozták az Amikor én még kissrác voltam című, népzenei gyökerű szerzeményükkel. Szabolcs a két fesztivál között, 1967-ben néhány hónapot katonáskodott is, addig a zenekarban Bródy János helyettesítette.
Az Illés-együttes a hatvanas évek második felében és a hetvenes évek elején hihetetlen népszerűségre tett szert, csak az Omega és a Metró volt a vetélytársuk. Dalaik jó része a slágerlisták élmezőnyébe került, koncertjeiket őrjöngő siker jellemezte. Számaik zenéjének zömét Szörényi Levente és Illés Lajos szerezte, a Bródy János által írt, gyakran áthallásos, politikailag kényes szövegek pedig az előző nemzedék magatartásmintái ellen lázadó ifjúság életérzéseit fejezték ki.
