A budapesti polgári családból származó zenész édesapja, Szörényi Gyula festőművész és grafikus, tanár hegedült, így gyermekként testvérével, Leventével együtt ő is hegedülni tanult, de egyikük sem érezte igazán sajátjának a hangszert. Tanáruk, egyben keresztanyjuk, Takács Alice, az Operaház hegedűművésze volt. A szülők 1956 szeptemberében beíratták a testvéreket a szobi állami fiúnevelő intézetbe, ahol bekerültek az intézet mandolinzenekarába. Szabolcs gitározott, majd basszusgitárra váltott, és maradt is ennél a hangszernél.
Két év múlva Vácra került a gimnáziumba, ahová Levente is követte, itt egy triót alakítottak. Az akusztikus hangszerekből házilag fabrikáltak elektromost, s Mediterrán nevű együttesükkel, amelyben a testvérek mellett Kőszegi Imre és Bajtala János is játszott, 1962-ben az országos Ki mit tud?-on az elődöntőig jutottak.
Az ifjú zenész középiskola után a Budapesti Műszaki Egyetemre jelentkezett, ahová nem vették fel, így két évre ipari tanuló lett, elektroműszerészként szerzett képesítést. Másodjára sikerült bekerülnie az egyetemre, azonban nem a közlekedésmérnöki, hanem az általános mérnöki szakra. Egy év múlva abba is hagyta tanulmányait. 1964 nyarán akkoriban jelentősnek számító honoráriumért, napi száz forintért játszott a siófoki Matróz csárdában.
1965 januárjában testvére, Levente által került be a már évek óta működő Illés-együttesbe. Még abban az évben kialakult a klasszikus felállás: a Szörényi fivérek mellett a billentyűs hangszereken játszó Illés Lajos, a gitáros Bródy János és a dobos Pásztory Zoltán voltak az együttes tagjai.
Azon a nyáron a nógrádverőcei ifjúsági táborban játszottak, minden este három-négy órát, fejenként 50 forintért. Ott csiszolódott teljesen össze a zenekar, és ott születtek meg az első magyar nyelvű beatdalok is, köztük Az utcán, a Mindig veled, az Óh, mondd és a Légy jó kicsit hozzám. Még abban az évben elkészítették az első magyar nyelvű beatkislemezt, Táskarádió címmel, Koncz Zsuzsa pedig elénekelte a tévében Szörényi Levente Rohan az idő című dalát, amelyet a Sanzonbizottság első körben nem engedélyezett. A szerzemény dalszövegírója S. Nagy István volt.
A Még fáj minden csók című számuk – habár 1966-ban az I. Táncdalfesztiválon elnyerte a megosztott második díjat – megosztotta a közönséget. Az 1968-as fesztiválról azonban már szinte minden díjat, közte a fődíjat is elhozták az Amikor én még kissrác voltam című, népzenei gyökerű szerzeményükkel. Szabolcs a két fesztivál között, 1967-ben néhány hónapot katonáskodott is, addig a zenekarban Bródy János helyettesítette.
Az Illés-együttes a hatvanas évek második felében és a hetvenes évek elején hihetetlen népszerűségre tett szert, csak az Omega és a Metró volt a vetélytársuk. Dalaik jó része a slágerlisták élmezőnyébe került, koncertjeiket őrjöngő siker jellemezte. Számaik zenéjének zömét Szörényi Levente és Illés Lajos szerezte, a Bródy János által írt, gyakran áthallásos, politikailag kényes szövegek pedig az előző nemzedék magatartásmintái ellen lázadó ifjúság életérzéseit fejezték ki.
Bár Szörényi Szabolcs – aki Illés Lajos szerint a legjobb fülű tagja volt az együttesnek – ritkán jelentkezett szerzőként, ő is írt néhány dalt.
Neki köszönhetők többek között az Újra itt van, a Sárika, Az ész a fontos, nem a haj című slágerek. Utóbbinak egyben énekese is volt. Emellett ő jegyzi Koncz Zsuzsa egyik legnagyobb slágerét, a Miszter Alkoholt.
Az Illésben minden tekintetben testvére, Levente vitte a prímet, Szabolcs inkább a háttérbe húzódva, többnyire egy létra tetején ülve támogatta kíséretével a többieket.
Hiába voltak népszerűek, az Illés zenekar mégis állandó nyomás alatt dolgozott, mert a hatalom megpróbálta kontrollálni, kordában tartani, egyben felhasználni őket az ifjúság megnyerésére. Rendre kifogásolták szövegeiket, nyilatkozataikat és viselkedésüket. 1970-ben nem is léphettek fel Budapesten, így lettek akkor – ahogy Tardos Péter fogalmazott – a vidék legjobb zenekara. Illés Lajos végül belefáradt a hercehurcákba, és 1973 végén feloszlatta a zenekart. Szörényi Szabolcs ezt követően 1974-től testvérével és Bródy Jánossal együtt a Fonográf együttes tagja lett. Egy évtizeden át dolgozott a zenekarral, amelynek 1984-ben adott három telt házas búcsúkoncertje egyben Szörényi Szabolcs színpadi visszavonulását is jelentette. Ennek ellenére ott volt az Illés 1990-es, 1996-os, 2001-es fellépésein, ahogy a végső búcsúnak számító 2005-ös koncerteken és az Illés zenekar megalakulásának 50. évfordulója tiszteletére 2014-ben, Beatünnep címmel rendezett budapesti és vidéki koncerteken is. Ugyanígy részt vett a Fonográf együttes 2004-es, majd 2018-as fergeteges sikerű koncertjén.
1990-ben Lökd ide a...! Kocsmadalok címmel jelent meg egy szólólemeze. Zenei rendezőként számos színpadi produkcióban és lemezen működött közre, például az idén negyvenéves István, a király című rockopera kétmillió példányban eladott eredeti hanganyagán.
Jó ideje hobbijának, a vasúti terepasztalok készítésének él. Első vasútmodelljét még az 1965 nyarán Nógrádverőcén kapott gázsijából vette meg. Lakóházának pincéjében azóta több vasúti csomópont, egyebek között a teljes Nyugati pályaudvar körzetének makettjét építette fel, amiről tévéfilm is készült Szörényi Szabolcs forgalmista birodalma címmel. 2000-ben Kossuth-díjjal ismerték el munkásságát. A kitüntetést az egykori Illés-együttes tagjaival megosztva kapta. 2012-ben Budapestért Díjat vehetett át, 2018-ban pedig a főváros XIII. kerületének díszpolgári címét adományozták neki. 2019-ben testvérével, Leventével együtt az óbudai Kobuci Kertben megrendezett negyedik Országos Beatles Találkozón a Höfner gitárgyár nemzetközi életműdíját vehették át.
Borítókép: Szörényi Szabolcs édesapja nyomdokaiba lépve kezdetben hegedülni tanult, de a gitár közelebb állt a szívéhez (Fotó: Illyés Tibor)
