Nyíregyházán lakott a szüleivel és négy testvérével. Nagyapja falusi orvosként, nagybátyja belgyógyászként dolgozott. Édesapja, Gloviczki Zoltán bel- és ideggyógyász volt, a legjobb orvos, akit Péter fia valaha is ismert. Tanított, támogatott és példát mutatott gyerekeinek, nem véletlen, hogy ketten, Zoltán és Péter az orvosi pályát választották. A váratlanul, fiatalon elhunyt Zoltán ideg- és elmegyógyász volt a Semmelweis Egyetem Idegklinikáján, majd az Országos Reumatológiai Intézetben.
– Pestre költöztünk 1957-ben, édesapám a csepeli rendelőintézetben lett ideggyógyász szakorvos. Egyik belgyógyász kollégája, Takáts Sándor tagja volt a Magyar Amatőr Mágusok Egyesületének, a MAME-nek. Nagyon tetszett, amiket csinált, és azt mondta, ha nagyon érdekel, megtanít bűvészkedni. Nagyon érdekelt. Feladott egy kézügyességi trükköt, egy hetem volt a megtanulására. Aztán jött a következő és így tovább. Hetente feljártam hozzá, később felléptem a bűvészklubban is, aztán jött a legelső Ki mit tud? 1962-ben – emlékezett a kezdetekre az Arizonában élő Gloviczki Péter. Azon a versenyen olyan nagy nevek között lépett fel, mint Hacki Tamás, Koncz Zsuzsa és Kern András. A kis bűvészként emlegették a mindössze 14 éves gyereket, aki megnyerte kategóriáját. Ennek köszönhetően felléphetett Helsinkiben a Világifjúsági Találkozón. Szülei erősen tartottak attól, hogy az ismertség a fejébe száll, de nem így történt. Sohasem volt kétség benne, hogy mi akar lenni: orvos és semmi más. A bűvészkedés, az ezzel járó haknizás sem tántorította el céljától.
Pár hónappal a Ki mit tud?-os győzelem után beköltözött a Pannonhalmi Bencés Gimnáziumba. Élte az ott megszokott életet. Tanult latinul, németül, angolul, oroszul, készült az orvosegyetemre. Egyik nagy példaképe Endrédy Vendel zirci apát, fizikus és matematikus tanár volt, aki a Rákosi-korszak börtönévei után Pannonhalmán élte utolsó esztendeit. Személyében olyan embert ismert meg, akiből szeretet, megbocsátás és nagy műveltség sugárzott. Angoltanára – erre az Orvosi Hetilap egyik 2018-as számában emlékezett – Kováts Arisztid volt, Habsburg Ottó egykori tutora. Ma is használ olyan angol mondatokat, amelyeket tőle tanult.